Что классическая теория портфеля на самом деле говорит о займе
Джеймс Тобин, лауреат Нобелевской премии по экономике 1981 года. Он преподавал в Йеле, входил в Совет экономических консультантов при президенте Кеннеди и в Совет управляющих Федеральной резервной системы.
Марковиц опубликовал свою модель в 1952 году и получил за неё Нобелевскую премию по экономике в 1990-м. В этой модели одни портфели лучше других. Они дают больше доходности при том же уровне риска или несут меньше риска при той же доходности. Нанесите эти оптимальные портфели на график, и вы получите то, что он назвал эффективной границей, в системе координат, где мерой риска служит дисперсия доходностей.
Его модель не учитывает ни плечо, ни денежную позицию. Но именно она заложила основу всех последующих исследований о том, как выглядит оптимальный инвестиционный портфель.
Идея занять, чтобы держать больше лучшего портфеля, принадлежит Джеймсу Тобину, 1958 год. Тобин получил собственную Нобелевскую премию в 1981-м. Он добавил один актив без риска. Множество возможностей перестаёт быть кривой. Оно становится прямой, которую позже назвали линией рынка капитала: она начинается на безрисковой ставке и касается эффективной границы в одной-единственной точке. Каждому следует держать портфель, стоящий в этой точке. Желаемый уровень риска решает лишь то, сколько денег вы держите рядом. Иначе говоря, инвестор, которому этот портфель кажется слишком рискованным, не должен держать его целиком. Ему следует держать 80% портфеля, или 50%, а остальное разместить в безрисковом активе, где эти деньги приносят безрисковую ставку. А инвестор, которому его доходность кажется недостаточной, должен занять по безрисковой ставке и держать этого же портфеля больше, чем позволяет его собственный капитал.
Поэтому ответ Тобина на «хочу больше доходности» — не «купите что-нибудь рискованнее». Это «купите больше того же самого, на заёмные деньги». Уильям Шарп построил на этом модель оценки капитальных активов в 1964 году и разделил премию 1990 года с Марковицем.
Картина Тобина. Граница рисковых активов — это гипербола, которая заворачивает на себя в портфеле минимальной дисперсии. Добавьте один безрисковый актив, и множество возможностей становится прямой, касающейся границы в одной точке: это касательный портфель, тот, у которого лучшая доходность на единицу риска. Любая позиция, доступная инвестору, теперь лежит на этой прямой. На её середине половина денег в наличных, половина — в касательном портфеле. При плече 2x инвестор занял сумму, равную собственному капиталу, и к этому моменту граница ушла заметно ниже прямой. В этом и состоит обещание теории: заём под лучший портфель бьёт всё, что могут предложить одни только рисковые активы. Обратите внимание, что прямая остаётся прямой по обе стороны от точки касания, а это предполагает, что занимать стоит ровно столько, сколько приносит кредитование.
Посмотрите на прямую ещё раз. Она прямая. Здесь это означает одну конкретную вещь: занимать стоит ровно столько, сколько приносит кредитование. Одна ставка, в обе стороны, на любую сумму. Такой ставки не предлагали ещё никому. Она чисто теоретическая. Это исследование сокращает расстояние между теорией и практикой. Оно моделирует спред над базовой ставкой, максимальную залоговую стоимость и фактически выбранный кредит. Оно моделирует и то, как часто кредит возвращается к целевой доле, как часто ребалансируется портфель, и текущие расходы самих фондов. И оно моделирует маржин-колл. Это момент, когда кредит превышает согласованную долю стоимости залога, и кредитор продаёт по цене того же дня.
Куда теория идёт дальше и куда вместо этого идёт это исследование
Роберт Мертон продвинул вопрос дальше. Он рассчитал, сколько рациональному инвестору следует занимать, если учесть капитализацию доходности.
Ближе всего в литературе к вопросу этой статьи стоит работа Фишера Блэка 1972 года о том, что происходит, когда инвесторы не могут занимать по безрисковой ставке. С тех пор её продолжили другие. Если вам нужна теория как следует, ссылки приведены в конце статьи.
То, что я сделал здесь, уже по охвату, но полезнее сегодняшнему инвестору. Я хотел знать, что заём сделал бы с семью модельными портфелями, которые я построил, за десять лет по 31 августа 2026 года, при реальных ставках фондирования и реальном правиле маржин-колла. Не то, что следовало бы держать оптимальному заёмщику. А что сделали бы именно эти портфели: доходность, волатильность, худшее падение и вызывал ли кредитор когда-нибудь кредит к погашению. Для выживших — сколько запаса у них оставалось до этой точки. И всё это при допущениях, которые вы можете менять сами, в инструменте, который я для этого построил: модельные портфели с плечом.
Вот что произошло.
Исследование и что оно показало
Метод прост. Я взял семь модельных портфелей, которые публикую. Они воспроизводят пассивные, а не активные стратегии: никакого отбора акций, только ETF на широкие индексы, и никакого тайминга рынка сверх квартальной ребалансировки к целевым весам. Семь портфелей занимают семь точек на шкале риска и доходности. На одном конце — консервативный портфель, держащий только облигации, с короткой дюрацией и низким кредитным риском. На другом — портфель целиком из акций. Defensive, Permanent Portfolio, Balanced, 60/40 и Offensive располагаются между ними, в этом порядке. Все они, кроме 60/40, добавляют альтернативные активы, прежде всего золото: Permanent Portfolio Гарри Брауна отводит ему четверть веса, а Balanced и Offensive — около десятой части. График ниже показывает десятилетний бэктест этих семи портфелей, без займа, при следующих допущениях: квартальная ребалансировка и 2,0% расходов в год.
Семь модельных портфелей, без займа. Включайте и выключайте любую линию в легенде, меняйте валюту, период, моделируемые расходы или правило ребалансировки. Цифры, приведённые в этой статье, соответствуют настройкам, с которыми график загружается: доллары США, десять лет по 31 августа 2026 года, квартальная ребалансировка и 2,0% расходов в год. За это десятилетие Fixed Income дал -2,6%, Defensive 34,4%, Permanent Portfolio 60,1%, Balanced 82,5%, 60/40 89,5%, Offensive 113,5% и Equity 179,5%. Fixed Income — единственный, кто закончил ниже старта, и дело здесь в периоде, а не в стратегии: он держит короткую дюрацию и высокое кредитное качество, а 2022 год ударил ровно по этому.
Допущения делятся на две группы: кредит и портфель.
Четыре касаются кредита. Какая доля стоимости портфеля выбрана в виде кредита. Максимальная залоговая стоимость, которую допускает кредитор. Спред над базовой ставкой: SOFR для доллара, краткосрочная ставка евро для евро и SARON для франка. И то, как часто кредит возвращается к исходной доле портфеля. Одна деталь здесь значит больше, чем кажется: базовая ставка ограничена снизу нулём, потому что ломбардный договор её так ограничивает. SARON провёл большую часть десятилетия ниже нуля, поэтому швейцарский заёмщик платил немногим больше самого спреда.
Два касаются портфеля: годовые текущие расходы и то, как часто он ребалансируется к целевым весам.
Шесть переменных, семь портфелей и три валюты — этого достаточно, чтобы превратить любой анализ в кашу. Поэтому подход был намеренно простым. Начать с допущений, выгодных заёмщику, а затем ужесточать каждое из них, пока заём не перестанет обыгрывать вариант без плеча. Где находится эта точка для каждого допущения — и есть полезный ответ.
Вот что произошло с семью портфелями за десять лет с 31 августа 2016 года по 31 августа 2026 года, заложенными на условиях, которых большинству инвесторов никогда не предложат. Максимальная залоговая стоимость 70%. Спред 0,8% над базовой ставкой, при этом базовая ставка плавает ежедневно, а кредит возвращается к целевой доле портфеля каждый квартал. Расходы портфеля 0,5% в год.
Начнём с портфелей, которые не выжили, потому что столкнулись с маржин-коллом. После того как кредитор продал, всё остальное уже не имеет значения.
Equity сломался первым, везде. В долларах и евро он исчезает на 2,0x плеча, то есть при 50% стоимости портфеля, выбранных в кредит, проданный 16 и 18 марта 2020 года, на худшем моменте обвала COVID. Во франках он продержался до 2,2x (55%). Следом Offensive, затем 60/40 и Balanced вместе на 2,5x (60%), затем Defensive и Permanent Portfolio на 2,9x (65%). Fixed Income не вызывали никогда ни при одном плече, которое кредитор реально предоставил бы. Он ломается только на 3,3x (70%), и там кредит уже стоит у потолка в первый же день, так что его убивает арифметика, а не рынок. У Fixed Income другая проблема, и он единственный портфель с ней: за эти десять лет он заработал меньше, чем стоил кредит. Он дал 1,24% в год в долларах против кредита стоимостью 3,29%, и он потерял деньги в евро и франках. Заём под него не усилил прибыль, он вычел из неё, поэтому версия с плечом заканчивает позади версии без плеча на любом уровне кредита. В остальных случаях почти весь ущерб нанесли два эпизода: четвёртый квартал 2018 года и март 2020 года.
Счёт выглядит так. Ниже 1,8x (45%) не был вызван ни один из двадцати одного портфеля. На 2,0x (50%) — два. На 2,2x (55%) — пять. На 2,5x (60%) — двенадцать, то есть больше половины. На 2,9x (65%) — восемнадцать. На 3,3x (70%) — все двадцать один.
Нарастание не постепенное. До 2,0x (50%) не происходит вообще ничего, а затем почти всё случается между 2,0x (50%) и 2,9x (65%). Арифметика за этим простая: при потолке в 70% колл приходит после падения активов примерно на единицу минус выбранная доля, делённая на 70. На 2,0x (50%) это падение на 29%, которое март 2020 года и обеспечил всему, что было нагружено акциями. На 2,5x (60%) это 14%, а такое случается куда чаще, чем инвесторы помнят. Знать, где происходят коллы, — одно. Знать, насколько близко подошли выжившие, — другое. Возьмём умеренные 1,4x (30% выбрано), уровень, на котором не был вызван никто. За десять лет, в худший свой момент, портфель целиком из акций всё ещё оставался в 36% от колла в долларах, в 38% в евро и в 41% во франках. Permanent Portfolio удерживал между 52% и 54%. Медиана по всем двадцати одному составила 48%. Читается ли подушка такого размера как комфортная или как неуютно тонкая — вопрос, на который может ответить только сам заёмщик, и ответить на него честно стоит до того, как что-либо подписывать.
Однако помните, что всё это предполагает, что кредитор держит линию на 70% всё время. Кредиторы соглашаются не всегда. Банк, который нервничает на падающем рынке, может снизить ставку аванса под тот же залог, и делает он это обычно в самый неподходящий момент. Допустим, линию урезали до 50%. При тех же умеренных 1,4x (30% выбрано) запас до колла упал бы едва до 10% у самого агрессивного портфеля целиком из акций в долларах и до 13% и 17% у его аналогов в евро и франках. В такой ситуации лучше бы вам быть уверенным, что кредитор не бросит вас в тот момент, когда он нужен больше всего.
Вернёмся к благоприятным допущениям: линия 70%, спред 0,8%, 0,5% годовых расходов и умеренное плечо 1,4x (30% выбрано), в долларах. Таблица ниже ставит каждый портфель с плечом против его близнеца без плеча.
Начнём со светлой стороны, потому что она реальна. Заём действительно поднял доходность, и не на копейки. Портфель целиком из акций капитализировался под 15,5% в год с кредитом против 12,5% без него, что за десять лет даёт 321,3% против 224,8%. Выиграли все портфели, кроме одного. Fixed Income — описанное выше исключение: его доходность так и не покрыла стоимость кредита, поэтому заём превратил 13,1% в 3,6%.
Теперь посмотрите на две колонки риска, и светлая сторона тускнеет. Тот же портфель акций упал на 48,4% в худший момент вместо 34,1%, оба раза 23 марта 2020 года, на дне обвала COVID. Волатильность выросла с 17,2% до 25,4%. Проще говоря: три дополнительных процентных пункта годовой доходности куплены восемью пунктами волатильности и четырнадцатью пунктами просадки.
| Портфель | Совокупная доходность | Годовая | Волатильность | Макс. просадка | Запас до колла |
|---|---|---|---|---|---|
| Fixed Income | 13,1% | 1,2% | 2,0% | -9,2% | без займа |
| с плечом 1,43x | 3,6% | 0,4% | 2,8% | -13,9% | 56% до маржин-колла |
| Defensive | 56,1% | 4,6% | 5,5% | -16,3% | без займа |
| с плечом 1,43x | 62,5% | 5,0% | 7,9% | -23,3% | 52% до маржин-колла |
| Permanent Portfolio | 86,1% | 6,4% | 7,7% | -19,0% | без займа |
| с плечом 1,43x | 107,5% | 7,6% | 10,9% | -26,8% | 52% до маржин-колла |
| Balanced | 112,0% | 7,8% | 9,4% | -21,1% | без займа |
| с плечом 1,43x | 146,6% | 9,4% | 13,5% | -29,6% | 48% до маржин-колла |
| 60/40 | 120,2% | 8,2% | 11,0% | -23,6% | без займа |
| с плечом 1,43x | 157,1% | 9,9% | 15,9% | -33,0% | 46% до маржин-колла |
| Offensive | 148,1% | 9,5% | 11,7% | -23,8% | без займа |
| с плечом 1,43x | 203,4% | 11,7% | 16,9% | -33,8% | 45% до маржин-колла |
| Equity | 224,8% | 12,5% | 17,2% | -34,1% | без займа |
| с плечом 1,43x | 321,3% | 15,5% | 25,4% | -48,4% | 36% до маржин-колла |
Портфели в USD, с 31.08.2016 по 31.08.2026. Каждая стратегия показана дважды: сама по себе и затем с плечом 1,43x, то есть с 30% стоимости портфеля, выбранными в кредит. Максимальная залоговая стоимость 70%, спред 0,8% над овернайт SOFR, ограниченным снизу нулём, расходы портфеля 0,5% в год, пересмотр плеча и ребалансировка — оба ежеквартально. Последняя колонка показывает, насколько ещё могли упасть активы в худший момент десятилетия, прежде чем кредитор продал бы.
Это сравнение, каждый портфель против собственного заложенного близнеца, — не то, которое делал Тобин. Его утверждение было резче. Если вы хотите больше доходности, говорил он, не покупайте более агрессивный портфель. Займите под лучший.
Это проверяемое утверждение, и исследование проверяет его напрямую. Взять менее рискованный портфель, занимать под него, пока он не достигнет доходности более рискованного портфеля, а затем спросить, кто из двоих нёс меньше риска по дороге. Чтобы засчитать победу, версия с займом должна быть не хуже сразу по всем трём мерам: доходность, волатильность и худшее падение. Никаких компромиссов.
В долларах это почти никогда не работало. Из 133 сочетаний портфеля и уровня кредита за десять лет по 31 августа 2026 года ровно один портфель с плечом обошёл портфель без плеча по всем статьям, и разрыв так тонок, что на нём никто не стал бы действовать: заём 10% под Balanced обошёл владение 60/40 на 0,7 процентного пункта совокупной доходности за десять лет, при волатильности на 0,6 пункта ниже. Это семь сотых процента в год. То, что Balanced с плечом вообще обошёл 60/40, связано не столько с кредитом, сколько с тем, что держат оба портфеля: у Balanced около десятой части веса в золоте, у 60/40 золота нет, а золото дало 227% за десятилетие, попутно диверсифицируя стоящий рядом риск акций.
Во всех остальных случаях тянуться за более высокой доходностью через заём стоило дороже, чем просто владеть более рискованным портфелем. Чтобы дотянуть Offensive до доходности портфеля акций, потребовалось 1,67x, и на этом уровне заложенная версия несла 19,9% волатильности против 17,2% и просадку 39,3% против 34,1%. Та же точка назначения, дорога хуже, и маржин-колл в 26% пути, а не спокойно вне поля зрения.
Смените валюту, и ответ сменится вместе с ней. В евро заём выиграл три раза. Во франках — четыре. Против одного в долларах.
Эти победы почти все похожи. Небольшой кредит, между 1,1x и 1,3x, взятый под Permanent Portfolio или Balanced, чтобы обойти 60/40 или Balanced. Каждая закончила в 61–92% от маржин-колла, так что ни одна и близко не подошла к принудительной продаже. Схема долларового случая повторяется: 60/40 — та ступень, которую перешагивают, в любой валюте.
Франк вмещает единственный в этом исследовании случай, когда заём обошёл верх лестницы. Offensive на 1,4x дал 138,8% против 134,9% у портфеля целиком из акций, при более низкой волатильности, 12,8% против 13,9%, и менее глубокой просадке, 29,9% против 30,4%. Лучше по всем трём, и при этом ещё 47% запаса до колла. Это предписание Тобина, работающее ровно так, как он его написал.
Разницу сделали две вещи, и ни одна из них не кредит. Фондирование было куда дешевле: SARON провёл большую часть десятилетия ниже нуля, а ломбардный договор ограничивает базовую ставку нулём снизу, так что швейцарский заёмщик платил 1,13% в год всё включено против 1,92% в евро и 3,29% в долларах. И лестница была выстроена иначе. В долларах портфель целиком из акций зарабатывал больше всех на единицу риска, так что занимать было не подо что лучше. Во франках — нет: Offensive зарабатывал 10,6 на единицу волатильности против 9,7 у Equity. Доходность швейцарских акций за это десятилетие была достаточно слабой, чтобы диверсифицированный портфель с золотом просто обошёл их, и заём под лучший портфель тогда сделал ровно то, что обещает теория.
Вот и результат, сказанный прямо. Тобин не ошибался. Его предписание окупается всякий раз, когда менее рискованный портфель действительно зарабатывает больше на единицу риска, чем тот, что стоит выше, и стоит денег всякий раз, когда это не так. Выполняется ли это условие — вопрос не теории. Он зависит от десятилетия, от валюты и от того, что портфели держат.
Что выдерживает проверку
Заём действительно поднял доходность, почти в каждом портфеле и в каждой валюте. Волатильность и просадки он поднял сильнее. И он внёс риск, которого инвестор без долга не несёт вовсе: на 2,0x два портфеля пришлось продать из-за маржин-колла, в течение недели от дна марта 2020 года, а на 2,5x по той же причине пришлось продать двенадцать из двадцати одного.
Там, где заём действительно улучшил портфель, он делал это малыми дозами, между 1,1x и 1,4x, и только там, где менее рискованный портфель уже зарабатывал больше на единицу риска, чем тот, что стоял выше. Заём не создал это преимущество. Он опёрся на то, которое уже было, заложенное тем, что портфель держал, а не тем, что он был должен.
Что возвращает нас к расчёту с самого начала. Портфель приносит 8%, деньги стоят 3%, занимаем ещё половину, ждём чего-то около 10,5%. Этот расчёт никогда не был ошибочным. Он просто отвечал на вопрос об одном среднем годе, тогда как вопрос, который стоило задать, был о том, что происходит с конкретной суммой денег, за конкретное десятилетие, с кредитором, у которого есть своё мнение на этот счёт.
Источники
Markowitz, H. (1952). Portfolio Selection. The Journal of Finance, 7(1), 77-91.
Kelly, J. L. (1956). A New Interpretation of Information Rate. Bell System Technical Journal, 35(4), 917-926.
Tobin, J. (1958). Liquidity Preference as Behavior Towards Risk. The Review of Economic Studies, 25(2), 65-86.
Sharpe, W. F. (1964). Capital Asset Prices. The Journal of Finance, 19(3), 425-442.
Merton, R. C. (1969). Lifetime Portfolio Selection under Uncertainty: The Continuous-Time Case. The Review of Economics and Statistics, 51(3), 247-257.
Black, F. (1972). Capital Market Equilibrium with Restricted Borrowing. The Journal of Business, 45(3), 444-455.
Avellaneda, M. and Zhang, S. (2010). Path-dependence of Leveraged ETF Returns. SIAM Journal on Financial Mathematics, 1(1), 586-603.
Frazzini, A. and Pedersen, L. H. (2014). Betting Against Beta. Journal of Financial Economics, 111(1), 1-25.